Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形OABC如图所示，点A在x轴负半轴上，BC∥AO（点B位于点C左侧），边BA、CO的延长线交于第三象限的点D，且DB=DC，若点B的横坐标是﹣4，AD：BD＝1:3．

（1）求点A的坐标；

（2）连接OB，若△OBC是等腰三角形，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（﹣2，0）；（2）C（2，2）或C（2，4）．

【解析】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据已知条件证明DF垂直平分AO，得到2AF+AE=4①，再根据DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，得到，即AE=2AF②，再由①②得到AE=2，AF=1，故可得到A点坐标；

（2）根据题意得到B、C两点关于直线x=﹣1对称，由B点横坐标为﹣4，得到C点横坐标为2，故BC=2﹣（﹣4）=6，再分两种情况讨论：当BO=BC时与OC=BC时，利用勾股定理进行求解.

（1）如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F．

∵BC∥AO，

∴∠DBC=∠DAO，∠DCB=∠DOA

∵DB=DC

∴∠DAO =∠DOA

∴DA=DO 又∵DF⊥x轴

∴OF=AF，则2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴，即AE=2AF②，

①与②联立，解得AE=2，AF=1，

∴点A的坐标为（﹣2，0）；

（2）由题意得∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∵DA=DO，DB=DC

∴B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，

∴C点横坐标为2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：

①当BO=BC时，设B（﹣4，y1），

则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）．

∴C（2，2）；

②当OC=BC时，设C（2，y2），

则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）．

∴C（2，4）．

∴C（2，2）或C（2，4）．