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【题目】已知,如图,在矩形ABCD,AB=4,BC=6,E为线段AB上一动点(不与点A. B重合),先将矩形ABCD沿CE折叠,使点B落在点F处,CFAD于点H.

(1)求证:△AEG∽△DHC

(2)若折叠过程中,CFAD的交点H恰好是AD的中点时,求tanBEC的值;

(3)若折叠后,点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上,求此时AE的长.

【答案】1)见解析;(2)3 (3).

【解析】

1)根据矩形的性质得到CD=AB=4AD=BC=6,∠A=B=D=90°,根据折叠的性质得到∠F=B=90°,根据余角的性质得到∠AEG=DHC,于是得到结论;

2)由点HAD的中点,得到AH=DH=3,根据相似三角形的性质得到GH=,得到AG=AD-GH-DH=BE=2,根据三角函数的定义即可得到结论;

3)分两种情况考虑:F在横对称轴上与F在竖对称轴上,分别求出BF的长即可.

(1)∵在矩形ABCD中,AB=4BC=6

CD=AB=4,AD=BC=6,A=B=D=90°

∵将矩形ABCD沿CE折叠,使点B落在点F处,

∴∠F=B=90°

∵∠AGE=FGH,∠FHG=DHC

∵∠FGH+FHG=90°

∴∠AGE+DHC=90°

∵∠AEG+AGE=90°

∴∠AEG=DHC

∴△AEG∽△DHC

(2)∵点HAD的中点,

AH=DH=3

CD=4

CH=5FH=1

∵∠F=D=90°,∠FHG=DHC

∴△FHG∽△DHC

GH=

AG=ADGHDH=

∵△AEG∽△DHC

AE=1

BE=2

tanBEC==3,

(3)F在横对称轴MN,如图2所示,此时CN=CD=2CF=BC=6

FN=

MF=

由折叠得,EF=BEEM=2BE

BE=

AE=

F在竖对称轴MN上时,如图3所示,此时ABMNCD

∴∠BEC=FOE

∵∠BEC=FEC

∴∠FEC=FOE

EF=OF

由折叠的性质得,BE=EF,EFC=B=90°

BN=CN

OC=OE

FO=OE

∴△EFO是等边三角形,

∴∠FEC=60°

∴∠BEC=60°

BE=BC=

AE=.

综上所述,B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上,此时AE的长是.

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