Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2，
∴DO=AO=CD=，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA²+AO²=PO²，
∴3²+（）²=（PD+）²，
∵PD的值为正数，
∴PD=．
分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可；
（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．