Question

已知x₁，x₂是方程x²-（2k-1）x+（k²+3k+5）=0的两个实数根，且x₁²+x₂²=39，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到△=（2k-1）²-4（k²+3k+5）≥0，解得k≤-

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，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+3k+5，接着把已知条件变形得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=39，则（2k-1）²-2（k²+3k+5）=39，解得k₁=-3，k₂=8，然后根据k的范围确定k的值．

解答：解：根据题意得△=（2k-1）²-4（k²+3k+5）≥0，解得k≤-

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，
∵x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+3k+5，
而x₁²+x₂²=39，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=39，
∴（2k-1）²-2（k²+3k+5）=39，
整理得k²-5k-24=0，
解得k₁=-3，k₂=8，
而k≤-

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，
∴k=-3．
故答案为-3．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．