【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．
（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）过点
作
，由EF∥AB得EM为△DEF边EF上的高，通过计算求出EF、EM即可求出△DEF面积；
（2）过点作
，垂足为点
，设
与
相交于点
，根据对称性知
，
，分别在Rt△AD D’和Rt△AEN中解直角三角形即可解得x值；
（3）
与
相交于点
，在Rt△CEF中，用x表示出AF，利用EF∥AB得
，用x表示出AG，再用两圆相交的性质知AF⊥DE，进而证得
即
，代入数值即可得关于x的方程，解之即可解得x值．
解：（1）如图1，过点作，垂足为点
.
在
中，
，
，
，
，
.
，，
.
在
中，
，，
，
.
，
. 又，
.
.
（2）如图2，过点作，垂足为点，设与相交于点.
、
关于对称，
，.
. 
，
.
在
中，
，
，
，
.
.
，，
，
.
在
中，
，，
，
，
.
（3）如图3，设与相交于点.
在
中，
，
，
，
，
. 
.
，
. 
，
，
.
.
圆
和圆
相交，另一个交点H恰好在DE上，
. 
.
，
，
.
. 
.
解得
（舍去），
.
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【题目】如图，观测站C发现在它的正西方向，有一艘渔船B出现险情，需救援，当即上报救援中心A，测得C在A的南偏东67方向，距A处50海里，而B在A的南偏东30方向，求渔船B与救援中心A的距离AB，渔船B与观测站C的距离BC．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin37=0.6，cos37=0.8，tan37=
，
≈1.73）
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【题目】为迎接：“国家卫生城市”复检，某市坏卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购A、B买两种型号的垃圾箱共30个，其中买A型垃圾箱不超过16个．求出购买费用最少时的购买方案？
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【题目】（问题与情境）
在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图①，现有矩形纸片
．连接
，将矩形
沿剪开，得到
和
．保持位置不变，将从图①的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为
．
（操作发现）
（1）在旋转过程中，连接
，则当
时，
的值是________；
（2）如图②，将图①中的旋转，当点E落在
延长线上时停止旋转，求出此时的值；
（实践探究）
（3）如图③，将图②中的继续旋转，当
时停止旋转，直接写出此时
的度数，并求出
的面积．
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【题目】甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示.
（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）乙车行驶多长时间追上甲车？
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【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=
，BD=8，求EF的长．
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【题目】如图，
是
的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿
的路线匀速运动，设
（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】（1）如图①，在矩形ABCD中，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝90°，若存在请用直尺和圆规作出点P（保留作图痕迹）
（2）若AB＝4，AD＝10，求出图①中BP的长．
（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
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