Question

方程x=

x- 1 x

+

1- 1 x

的根为

 

．

Answer 1

考点：无理方程

专题：

分析：首先利用换元法令a=

x- 1 x

≥0，b=

1- 1 x

≥0，进而得出a+b=x 及a²-b²=x-1，得出关于b的方程，进而求出即可．

解答：解：x=

x- 1 x

+

1- 1 x

，
令a=

x- 1 x

≥0，b=

1- 1 x

≥0，
则方程有：
a+b=x 及a²-b²=x-1
两式相除得：a-b=

x-1

x

=b²，故a=b+b²，
两式相减得：a+b-a²+b²=1
代入a，得：b+b²+b-（b+b²）²+b²=1
2（b+b²）-（b+b²）²=1
[（b²+b）-1]²=1
b²+b-1=0
解得：b₁=

-1- 5

2

（不合题意舍去），b₂=

-1+ 5

2

，
故x=

1

1-b2

=

1

b

=

2

5 -1

=

5 +1

2

，
检验：当x=

5 +1

2

时，原式都有意义，故原方程的解为：x=

5 +1

2

．

点评：此题主要考查了无理方程的解法，正确利用换元法解方程是解题关键．