Question

如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（1，2），反比例函数y=

m

x

（0＜m＜2）的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF．

（1）若点E是AB的中点，则m=

 

，S_△OEF=

 

；
（2）若S_△OEF=2S_△BEF，求点E的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE≌△BFE？若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）如图1，利用点E为AB的中点易得E点坐标为（1，1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得m=1，则反比例函数解析式为y=

1

x

，然后确定F点坐标为（

1

2

，2），再利用反比例函数k的几何意义和S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF进行计算；
（2）设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（

m

2

，2），根据三角形面积公式得到S_△BEF=

1

2

（1-

m

2

）（2-m），根据反比例函数k的几何意义得到S_△OFC=S_△OAE=

1

2

m，由于S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF=2-

1

2

m-

1

2

m-

1

2

（1-

m

2

）（2-m），则2-

1

2

m-

1

2

m-

1

2

（1-

m

2

）（2-m）=2•

1

2

（1-

m

2

）（2-m），然后解方程求出m即可得到E点坐标；
（3）设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（

m

2

，2），作EG⊥OC于G，如图2，则CF=

m

2

，GE=1，假设△MFE≌△BFE，根据全等的性质得FM=FB=1-

m

2

，EM=BE=2-m，∠FME=∠B=90°，再证明Rt△MFC∽Rt△EMG，利用相似比计算出MC=

1

2

，MG=m，由于OC=OG+MG+MC=2，则m+m+

1

2

=2，解得m=

3

4

，于是得到M点的坐标为（1，

3

4

）．

解答：解：（1）如图1，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为（1，2），点E为AB的中点，
∴E点坐标为（1，1），
∵点E（1，1）在y=

m

x

上，
∴m=1×=1，
∴反比例函数解析式为y=

1

x

，
把y=2代入得x=

1

2

，则F点坐标为（

1

2

，2），
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF=1×2-

1

2

-

1

2

-

1

2

×1×

1

2

=

3

4

，
故答案为1，

3

4

；
（2）设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（

m

2

，2），
则S_△BEF=

1

2

（1-

m

2

）（2-m），S_△OFC=S_△OAE=

1

2

m，
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF=2-

1

2

m-

1

2

m-

1

2

（1-

m

2

）（2-m），
∵S_△OEF=2S_△BEF，
∴2-

1

2

m-

1

2

m-

1

2

（1-

m

2

）（2-m）=2•

1

2

（1-

m

2

）（2-m），
整理得

3

4

（m-2）²+m-2=0，解得m₁=2（舍去），m₂=

2

3

，
∴E点坐标为（1，

2

3

）；
（3）存在．理由如下：
设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（

m

2

，2），作EG⊥OC于G，如图2，则CF=

m

2

，GE=1，
∵△MFE≌△BFE，
∴FM=FB=1-

m

2

，EM=BE=2-m，∠FME=∠B=90°，
∴∠CMF+∠GME=90°，
而∠CMF+∠MFC=90°，
∴∠MFC=∠GME，
∴Rt△MFC∽Rt△EMG，
∴

MC

GE

=

CF

MG

=

MF

ME

，即

MC

1

=

m 2

MG

=

1- m 2

2-m

=

1

2

，
∴MC=

1

2

，MG=m，
∵OC=OG+MG+MC=2，
∴m+m+

1

2

=2，解得m=

3

4

，
此时M点的坐标为（1，

3

4

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的机几何意义和矩形的性质；会运用三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．