Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由直角三角形ACD中，CF垂直于AD，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AC=BC，利用AAS得到三角形ACD与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=BF，由D为BC中点，得到CD=BD，等量代换即可得证．

解答：证明：∵Rt△ACD中，CE⊥AD，
∴∠BCF+∠F=90°，∠BCF+∠ADC=90°，
∴∠F=∠ADC，
在△ACD和△CBF中，

∠ACD=∠CBF=90° ∠F=∠ADC AC=BC

，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD=BF，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴BF=CD=BD=

1

2

BC=

1

2

AC，
则AC=2BF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．