Question

7．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，其中甲种图书a本，投入的经费为W元，
①请写出W关于a的函数关系式；
②若投入的经费不超过1050元，且使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？并求出最节省的购买方案和最节省经费；
（3）若学校计划购买这两种图书总数超过30本，其中甲种图书a本，乙种图书b本，且投入的经费恰好为690元，则b=24，27（写出两种可能的值）．

Answer 1

分析 （1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40-a）本，①根据总费用等于购买的甲种图书的费用+购买的甲种图书的费用即可求得函数关系式；②根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
（3）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{30a+20b=690①}\\{a+b＞30②}\end{array}\right.$，由①得a=$\frac{69-2b}{3}$=23-$\frac{2}{3}$b，代入②解得b＞21，因为a、b都是整数，即可求得b的取值．

解答 解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得$\frac{600}{x}$-$\frac{600}{1.5x}$=10
解得：x=20
则1.5x=30，
经检验得出：x=20是原方程的根，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）①设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40-a）本，根据题意得：
W=30a+20（40-a）=800+10a，
即W=10a+800；
②$\left\{\begin{array}{l}{10a+800≤1050}\\{a≥40-a}\end{array}\right.$
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40-a=20、19、18、17、16、15
∴共有6种方案；
由W=10a+800可知：
当a取最小值时，W最小，
∴a=20，W最小=1000元；
（3）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{30a+20b=690①}\\{a+b＞30②}\end{array}\right.$，
由①得a=$\frac{69-2b}{3}$=23-$\frac{2}{3}$b，
代入②解得b＞21，
∵a、b都是整数，
∴b必须是3的倍数，
∴b=24，27，30，33．
故答案为24，27．

点评 此题考查一次函数的应用，分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．