Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD.

（1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；

（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB.上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明.

Answer 1

【答案】（1）成立，见解析；（2）图③的结论不成立.图③的结论为BM-CN = BD.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，及过D作DE平行AC交AB于E点，构造△DME与△DNC全等，利用全等三角形的对应边相等及线段的和差关系给予证明.（2）利用同（1）的方法构造全等，根据和差关系得出的结论为BM-CN = BD.

(1)证明:图②的结论成立，为BM +CN = BD.理由如下：

如图，过点D作DE//AC交AB于点E.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

∵DE//AC，

∴∠BED=∠BDE =∠A=∠C=∠B= 60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠EDC = 120°.

∴∠EDN +∠NDC= 120°.

∵∠MDN= 120°，

∴∠EDN十∠MDE = 120°，

∴∠NDC=∠MDE.

∵D是BC的中点，

∴BD = DC，

∴BD=DE = DC.

∵∠BED=∠C =60°

∴△DME≌△DNC.

∴ME = NC，

∴BM十ME= BE，

∴BM十CN= BD.

(2)解:图③的结论不成立.正确结论为BM-CN = BD.理由如下：

如图，过点D作DF//AC交AB于点F.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°,

∴DF//AC，

∴∠BFD=∠BDF=∠A=∠ACB =∠B = 60°.,

∴△BDF是等边三角形，

∴∠FDC =∠MFD=∠DCN=120°，

∴∠FDM +∠MDC= 120°.

∵∠MDN= 120°，

∴∠MDC十∠NDC = 120°,

∴∠NDC=∠FDM.

∵D是BC的中点，

∴BD = DC,

∴BD=DF = DC.

∵∠MFD=∠DCN=120°,

∴△DMF≌△DNC,

∴MF = NC,

∴BM-MF =BF ,

∴BM-CN =BD .