Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（6，4）．双曲线经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接DE．

（1）求k的值和直线DE的解析式；

（2）若点P是y轴上一点，且△OPE的面积与四边形ODBE的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据AB的中点D（6，2）求得双曲线解析式，继而结合矩形的性质知点E（3，4），待定系数法求得直线DE的解析式；

（2）先利用割补法求得四边形的面积，再依据△OPE的面积与四边形ODBE的面积相等求得点P的纵坐标即可得出答案．

解：（1）∵点B的坐标为（6，4），

∴AB的中点D的坐标为（6，2），

将点D（6，2）的坐标代入，得k=6×2=12．

∵BC∥x轴，∴点E的纵坐标与点B的纵坐标相等，

∴点E的纵坐标为4．

∵点E在双曲线上，

∴，

∴点E在坐标为（3，4）

设直线DE的解析式为，

将点D（6，2）、E（3，4）的坐标代入，

得，解得：．

∴直线DE的解析式为：

（2）∵S四边形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE

=6×4-×6×2-×4×3=12，

∴，即，

∴OP=8

∴点P的坐标为（0，8）或（0，-8）