Question

【题目】如图，在平行四边形中，，交于点，且，的平分线交于点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝3．

【解析】

（1）由平行四边形的性质及可得该四边形的对角线相等，即可证明四边形是矩形；

（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得EG＝EA，证出Rt△ADE≌Rt△GDE，根据矩形的性质计算各边的长度，在Rt△BEG中，由勾股定理得，代入数据计算即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝2AO，BD＝2BO．

∵AO＝BO，

∴AC＝BD．

∴平行四边形ABCD为矩形．

（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，

∵矩形ABCD，OC=5，

∴BD＝8.

在Rt△ABD中，

∵AB＝8，BD=10

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴EA⊥AD于点A，

∵DE为∠ADB的平分线，

又EG⊥BD于点G，

∴EG＝EA，∠EGB＝90°．

在Rt△ADE和Rt△GDE中，

∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）

∴AD=GD=6

在Rt△BEG中，

∵

∴

∴AE＝3．