Question

【题目】已知点，抛物线与轴从左到右的交点为，．

（1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当时，求的值；

（3）直线经过点，与轴交于点，

①求点的坐标；

②若线段与抛物线有唯一公共点，直接写出正整数的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①，②和

【解析】

（1）由抛物线经过，把点M代入即可求出，抛物线的解析式即求出；把抛物线解析式化为顶点式，即可得顶点点坐标；

（2）方法一：利用抛物与轴的交点坐标关于对称轴对称的特点求解，设，则，，由抛物线对称轴为直线：，①当，则可得，求出，此时代入抛物线可求出；②当，则，此时可出，此时代入抛物线解析式得；综上所述即为的值；

方法二：利用物线与轴有两个交点，用判别式得出的取值范围，令，用求根公式表示出方程的解，当时，可得两个解的关系，解之，即可得的值；

（3）①把代入直线，即可得b的值，写出直线解析式，令，即可求与轴交于点的纵坐标，即求得点坐标；

②由线段与抛物线有唯一公共点，联立直线和抛物线的方程，可解得此时符合题意的；当抛物线经过点M时,解得c=2 ,此时抛物线与线段MN有2个公共点，与题意不符；当抛物线往下平移到经过点N时，解得c=-1 ,此时抛物线与线段MN只有交点N，当-1≤c<2时,抛物线与线段MN只有-个公共点，而此时满足条件的正整数c的值为1，综上所述，即可得符合条件的的值．

解：（1）抛物线经过，

，

解得：．

，

，

顶点为，

（2）方法一：

设，则，，

①若，则，

抛物线对称轴为直线：，点、关于对称轴对称，

，即，

解得：，

代入抛物线解析式得：，

解得：；

②若，则，

，

解得：，

代入抛物线解析式得：，

解得：；

综上所述的值为或．

方法二：

（2）抛物线与轴有两个交点，

，

解得，

令，

解得，

点，

点，

当时，

，

或

，解得或．

（3）①直线经过点，

，

解得：，

直线解析式为，

当时，，

点坐标为．

②满足条件的正整数的值为和；

理由如下：

当线段与抛物线只有一个公共点时，

，

∴，

△，

所以，

此时方程的解为，

∴此时交点在线段上，满足题意段与抛物线有唯一公共点；

当抛物线经过点M时,解得c=2 ,此时抛物线与线段MN有2个公共点，与题意不符；

当抛物线往下平移到经过点N时，解得c=-1 ,此时抛物线与线段MN只有交点N，

∴当-1≤c<2时,抛物线与线段MN只有-个公共点

∴此时满足条件的正整数c的值为1；

综上所述，满足条件的正整数c的值为1或3．