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【题目】如图,在ABC中,C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E,F分别在AC,BC边上运动(点E不与点A,C重合),且保持EDFD,连接DE,DF,EF,在此运动变化的过程中,有下列结论:

①AE=CF;

②EF最大值为2

③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化;

④点C到线段EF的最大距离为

其中结论正确的有 (把所有正确答案的序号都填写在横线上)

【答案】①③④

析】

试题分析:如图,连接CD.

ABC中,AC=BC,ACB=90°,

∴∠A=B=45°,

D是AB的中点,

CD=AD=BD,ADC=90°,ACD=BCD=45°,

∴∠1+2=90°,

EDFD,

∴∠2+3=90°,

∴∠1=3,

ADE和CDF中,

∴△ADE≌△CDF(ASA),

AE=CF;

故①正确;

(2)设CE=x,则CF=AE=4﹣x,

在RtCEF中,EF=

2(x﹣2)2+8有最小值,最小值为8,

EF有最小值,最小值为

故②错误;

③由①知,ADE≌△CDF,

S四边形EDFC=S△EDC+S△FDC=S△EDC+S△ADE=S△ADC

四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化.

故③正确;

④由①可知,ADE≌△CDF,

DE=DF,

∴△DEF是等腰直角三角形,EF=DE

当EFAB时,AE=CF,

E,F分别是AC,BC的中点,

故EF是ABC的中位线,

EF取最小值=

CE=CF=2,

此时点C到线段EF的最大距离为

故④正确.

故答案为:①③④.

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