【题目】将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.DF=8.
(1)若P是BC上的一个动点,当PA=DF时,求此时∠PAB的度数;
(2)将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.
①求证:AD∥BF;
②若P是BC的中点,连接FP,将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转,当旋转角α= 时,FP长度最大,最大值为 (直接写出答案即可).
【答案】(1)∠PAB的度数为15°或75°;
(2)①见试题解析;
②210°,16+4.
【解析】
试题分析:(1)利用锐角三角函数求出∠APH,然后分两种情况计算即可;
(2)①作出AM⊥BC,DN⊥BC,得到AM∥DN,在计算出AM,DN,得到AM=DN,出现平行四边形AMND,②先判断出PF最大时,点P落在FB的延长线上,再求解即可.
如图1,
D,
试题解析:(1)作AH⊥BC于H,∴AH=BC,∵DF=8,∠DEF=30°,∴BC=DE==8,
∴AH=4,当PA=DF=8时,sin∠APH==,∴∠APH=60°,
①∵∠ABC=45°,∠AP1H=60°,∴∠BAP1=∠AP1H﹣∠ABC=15°,
②∵∠ACB=45°,∠AP2H=60°,∴∠CAP2=∠AP2B﹣∠ACB=15°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAP2=90°﹣∠CAP2=75°;∴∠PAB的度数为15°或75°;
(2)①如图2作AM⊥BC,DN⊥BC,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=8,
∴AM=BC=×8=4,在Rt△BCF中,∠F=60°,DF=8,∴DN=DF×sin∠F=8×=4,
∴AM=DN,∵AM∥DN,∴四边形AMND是平行四边形,∴AD∥BC;
②∵P是BC的中点,且FP长度最大,则有点F,B,P在同一条直线上,
即:点P在FB的延长线上,
∴BC边旋转180°,
∵∠CDF=30°,
∴旋转角α=210°,
∵P是BC的中点,BC=8,
∴BP=4,
∵BF=2DF=16,
∴FP=16+4,
故答案为210°,16+4.
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【题目】如图,把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠B=30°,OA=2,斜边AB∥x轴,点A在双曲线上.
(1)求双曲线的解析式;
(2)把三角板AOB绕点A顺时针旋转,使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上的对应线段为AD,试判断点D是否在双曲线上?请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E,F分别在AC,BC边上运动(点E不与点A,C重合),且保持ED⊥FD,连接DE,DF,EF,在此运动变化的过程中,有下列结论:
①AE=CF;
②EF最大值为2;
③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为.
其中结论正确的有 (把所有正确答案的序号都填写在横线上)
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.
(3)画出△ABC绕圆心O顺时针旋转90°的△A3B3C3.
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【题目】某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利润10%,若商品A的标价为33元,则该商品的进价为( )
A. 27元 B. 29.7元 C. 30.2元 D. 31元
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【题目】如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(分钟) 的函数关系图。观察图中所提供的信息,解答下列问题:
(1)求汽车在前9分钟内的平均速度.
(2)汽车在中途停留的时间.
(3)求该汽车行驶30千米的时间.
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【题目】对于y=2(x-3)2+2的图象,下列叙述正确的是( )
A. 顶点坐标为(-3,2) B. 对称轴为直线x=-3
C. 当x>3时,y随x的增大而增大 D. 当x>3时,y随x的增大而减小
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