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【题目】将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.DF=8.

(1)若P是BC上的一个动点,当PA=DF时,求此时PAB的度数;

(2)将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.

①求证:ADBF;

②若P是BC的中点,连接FP,将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转,当旋转角α= 时,FP长度最大,最大值为 (直接写出答案即可).

【答案】(1)PAB的度数为15°或75°;

(2)见试题解析;

210°,16+4

析】

试题分析:(1)利用锐角三角函数求出APH,然后分两种情况计算即可;

(2)①作出AMBC,DNBC,得到AMDN,在计算出AM,DN,得到AM=DN,出现平行四边形AMND,②先判断出PF最大时,点P落在FB的延长线上,再求解即可.

如图1,

D,

试题解析:(1)作AHBC于H,AH=BC,DF=8,DEF=30°,BC=DE==8

AH=4,当PA=DF=8时,sinAPH==∴∠APH=60°,

∵∠ABC=45°,AP1H=60°,∴∠BAP1=AP1H﹣ABC=15°,

∵∠ACB=45°,AP2H=60°,∴∠CAP2=AP2B﹣ACB=15°,

∵∠BAC=90°,∴∠BAP2=90°﹣CAP2=75°;∴∠PAB的度数为15°或75°;

(2)①如图2作AMBC,DNBC,在RtABC中,AB=AC,BC=8

AM=BC=×8=4,在RtBCF中,F=60°,DF=8,DN=DF×sinF=8×=4

AM=DN,AMDN,四边形AMND是平行四边形,ADBC;

P是BC的中点,且FP长度最大,则有点F,B,P在同一条直线上,

即:点P在FB的延长线上,

BC边旋转180°,

∵∠CDF=30°,

旋转角α=210°,

P是BC的中点,BC=8

BP=4

BF=2DF=16,

FP=16+4

故答案为210°,16+4

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