Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．

（1）求证：△AFC∽△ACE；

（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据条件得出＝，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；

（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出＝，从而计算出AF的长度.

（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径

∴＝

∴∠AFC＝∠ACD．

∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC

∴△AFC ∽△ACE

（2）∵四边形ACDF内接于⊙O

∴∠AFD＋∠ACD＝180°

∵∠AFD＋∠DFE＝180°

∴∠DFE＝∠ACD

∵∠AFC＝∠ACD

∴∠AFC＝∠DFE．

∵△AFC∽△ACE

∴∠ACF＝∠DEF．

∵F为的中点

∴AF＝DF．

∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF

∴△ACF≌△DEF．

∴AC＝DE＝5．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径

∴CH＝DH＝3．

∴EH＝8

在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，

在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝4．

∵△AFC∽△ACE

∴＝，即＝，

∴AF＝.