Question

12．如图，在 Rt△ABO 中，斜边 AB=1，若 OC∥BA，∠AOC=36°，则下面四个结论：
①点B到AO的距离为sin54°；②点B到AO的距离为tan36°；
③点A到OC的距离为sin36°•sin54°；④点A到OC的距离为cos36°•sin54°．
其中正确的是③（填序号）．

Answer 1

分析 过点A作BH⊥OC于H，在Rt△AOB中，利用正弦和余弦的定义可计算出OB和OA，则可对①②进行判断；在Rt△OBH中，利用∠BOH的正弦可计算出BH，然后关键平行线的性质可对③④进行判断．

解答 解：在Rt△AOB中，∵sinA=$\frac{BO}{AB}$，
∴BO=ABsinA=sin36°或BO=cos54°，
即点B到OA的距离为sin36°或cos54°，所以①错误；
∵cosA=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA=ABcosA=cos36°或sin54°，
即点A到OB的距离为cos36°或sin54°，所以②错误；
过点A作BH⊥OC于H，如图，
在Rt△OBH中，∵sin∠BOH=$\frac{BH}{OB}$，
∴BH=OBsin54°=sin36°•sin54°，
∵OC∥AB，
∴点A到OC的距离为sin36°•sin54°．所以③正确，而④错误．
故答案为：③．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．