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【题目】如图,直线y=2x+8分别交x轴,y轴于点AB,直线yx+3y轴于点C,两直线相交于点D

1)求点D的坐标;

2)如图2,过点AAEy轴交直线yx+3于点E,连接ACBE.求证:四边形ACBE是菱形;

3)如图3,在(2)的条件下,点F在线段BC上,点G在线段AB上,连接CGFG,当CG=FG,且∠CGF=ABC时,求点G的坐标.

【答案】1)点D坐标(24);(2)证明见详解;(3)点G()

【解析】

(1)两个解析式组成方程组,可求交点D坐标;
(2)先求出点A,点B,点E,点C坐标,由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5,可证四边形ACBE是菱形;
(3)由“AAS”可证ACGBGF,可得BG=AC=5,由两点距离公式可求点G坐标.

解:(1)根据题意可得:

解得:

∴点D坐标(24)

2)∵直线y=2x+8分别交x轴,y轴于点AB

∴点B(08),点A(40)

∵直线yx+3y轴于点C

∴点C(03)

AEy轴交直线yx+3于点E

∴点E(45)

∵点B(08),点A(40),点C(03),点E(45)

BC=5AE=5AC5BE5

BC=AE=AC=BE

∴四边形ACBE是菱形;

3)∵BC=AC

∴∠ABC=CAB

∵∠CGF=ABC,∠AGF=ABC+BFG=AGC+CGF

∴∠AGC=BFG,且FG=CG,∠ABC=CAB

∴△ACG≌△BGF(AAS)

BG=AC=5

设点G(a,﹣2a+8)

(2a+88)2+(a0)2=52

a=±

∵点G在线段AB上,

a

∴点G(82)

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