【题目】如图,直线y=﹣2x+8分别交x轴,y轴于点A,B,直线yx+3交y轴于点C,两直线相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)如图2,过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E,连接AC,BE.求证:四边形ACBE是菱形;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F在线段BC上,点G在线段AB上,连接CG,FG,当CG=FG,且∠CGF=∠ABC时,求点G的坐标.
【答案】(1)点D坐标(2,4);(2)证明见详解;(3)点G(,).
【解析】
(1)两个解析式组成方程组,可求交点D坐标;
(2)先求出点A,点B,点E,点C坐标,由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5,可证四边形ACBE是菱形;
(3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF,可得BG=AC=5,由两点距离公式可求点G坐标.
解:(1)根据题意可得:,
解得:,
∴点D坐标(2,4)
(2)∵直线y=﹣2x+8分别交x轴,y轴于点A,B,
∴点B(0,8),点A(4,0).
∵直线yx+3交y轴于点C,
∴点C(0,3).
∵AE∥y轴交直线yx+3于点E,
∴点E(4,5)
∵点B(0,8),点A(4,0),点C(0,3),点E(4,5),
∴BC=5,AE=5,AC5,BE5,
∴BC=AE=AC=BE,
∴四边形ACBE是菱形;
(3)∵BC=AC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠CGF=∠ABC,∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF,
∴∠AGC=∠BFG,且FG=CG,∠ABC=∠CAB,
∴△ACG≌△BGF(AAS),
∴BG=AC=5,
设点G(a,﹣2a+8),
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52,
∴a=±,
∵点G在线段AB上,
∴a,
∴点G(,8﹣2)
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【题目】如图,四边形中ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,P为对角线AC延长线上的任意一点,PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.
求证:K是线段MN的中点.
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【题目】如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=2 ,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在 上的点D处,折痕交OA于点C,则阴影部分的面积是________.
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【题目】小明和小亮玩一种游戏:三张大小,质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则小明胜,若和为偶数则小亮胜.
(1)用列表或画树状图等方法,列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况.
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,点E为边CD上一点,将△ADE沿AE所在直线翻折,得到△AFE,点F恰好是BC的中点,M为AF上一动点,作MN⊥AD于N,则BM+AN的最小值为____.
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【题目】如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠B=90°, AB//CD,M为BC边上的一点,AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
求证:(1) AM⊥DM;
(2) M为BC的中点.
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【题目】已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.
①求证:∠1=∠2;
②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;
(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,①abc<0,②2a+b>0,③a-b+c<0,④b2>4ac,⑤关于x的方程ax2+bx+c-2=0没有实数根.则下列结论正确的有______.(填序号)
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