Question

【题目】如图,四边形ABCD中，∠B=90°, AB//CD，M为BC边上的一点，AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

求证:(1) AM⊥DM;

(2) M为BC的中点.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠BAD＋∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD＋∠ADM＝90°，求出∠AMD＝90°，根据垂直的定义得到答案；

（2）作MN⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换可得结论．

证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD＋∠ADC＝180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，

∴∠MAD＋∠ADM＝90°，

∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；

（2）作MN⊥AD交AD于N，

∵∠B＝90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM＝MN，MN＝CM，

∴BM＝CM，即M为BC的中点．