Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，且CE＝BD．

（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）连接AE交CD于点G，若AE⊥CD．

①求sin∠CAG的值；

②若菱形ABCD的边长为6cm，点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接DP，一动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿线段DP匀速运动到点P，再以cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间t．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）① ；②

【解析】

（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据∠COD＝90°推出是矩形．

（2）①由DE∥AC，DE＝OC＝OA，推出，设DG＝m，则CG＝2m，DC＝AD＝3m，求出AC即可解决问题．

②过点P作PT⊥AC于T．由sin∠PAT＝，推出PT＝PA，由点Q的运动时间t＝＝PD+PT，根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

∵EC＝BD，

∴EC＝OD，

∵EC∥OD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵∠COD＝90°，

∴四边形OCED是矩形．

（2）解：①∵四边形OCED是矩形，

∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，

∴，设DG＝m，则CG＝2m，DC＝AD＝3m，

∵AE⊥CD，

∴∠AGD＝∠AGC＝90°，

∴AG＝，

∴AC＝，

∴sin∠CAG＝．

②过点P作PT⊥AC于T．

∵sin∠PAT＝，

∴PT＝PA，

∵点Q的运动时间t＝＝PD+PT，

根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长，

由（2）可知3m＝6，

m＝2，

∴AC＝，OA＝，

∵∠AOD＝90°，

∴OD＝，

∵DE∥OA，

∴，

∴OP＝PD＝，此时AP＝，

∴满足条件的PA的值为，点Q走完全程所需的时间t＝（s）．