Question

7．如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，∠DCE=22.5°
（1）求证：BE=BC；
（2）求$\frac{DE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的对角线平分每组对角，再利用等腰三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠BDC=∠CBE=45°，
∵∠DCE=22.5°，
∴∠BCE=67.5°，
∴∠BEC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC；

（2）解：设BC=DC=a，
则BC=$\sqrt{2}$a，
∵BE=BC，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{BD-BC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{a}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 此题主要考查了等腰三角形的判断以及正方形的性质，得出∠CBD=45°是解题关键．