Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD²=DF•DG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先证明△ADG∽△FDB，可得

AD

DF

=

DG

DB

，可得AD•BD=DF•DG，再证明△ADC∽△CDB，可得到AD•BD=CD²，可得结论．

解答：证明：∵CD⊥AB，BE⊥AG，
∴∠GED=∠BDF，
∴∠G=∠DBF，且∠ADG=∠FDB，
∴△ADG∽△FDB，
∴

AD

DF

=

DG

DB

，即AD•BD=DF•DG，
∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，即AD•BD=CD²，
∴CD²=DF•DG．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，利用条件找到DF•DG与AD•BD及CD²与AD•BD的关系是解题的关键．