Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）50

【解析】

（1）首先根据矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，然后根据DE＝BF，可得AF＝CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE＝CE，然后设AE＝CE＝x，表示出DE的长度，根据勾股定理求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴AF∥CE，

∵CE＝CD﹣DE，AF＝AB﹣BF，DE＝BF，

∴AF＝CE，

∵AF∥CE，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，

∴AE＝CE＝CF＝AF，

∵AB＝CD，AB＝16，

∴CD＝16，

设AE＝CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝16﹣x，

∵四边形ABCD为矩形

∴∠D＝90°，

∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2

又∵x＞0，AD＝12，

∴122+（16﹣x）2＝x2，

解得x＝12.5，

∴C菱形AFCE＝4×12.5＝50．

答：菱形AFCE的周长为50．