【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若⊙O半径为4,∠OCE=30°,求△OCE的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)16.
【解析】
(1)首先连接OD,易证得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等,求得∠CDO=90°,即可证得直线CD是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为R,则OE=R+1,在Rt△ODE中,利用勾股定理列出方程,求解即可.
(1)证明:连接DO,如图,
∵AD∥OC,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD,
又∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中
,
∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠CDO=∠CBO.
∵BC是⊙O的切线,
∴∠CBO=90°,
∴∠CDO=90°,
∴OD⊥CE,
又∵点D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:由(1)可知∠OCB=∠OCD=30°,
∴∠DCB=60°,
又BC⊥BE,
∴∠E=30°,
在Rt△ODE中,∵tan∠E=,
∴DE==4,
同理DC=OD=4,
∴S△OCE=ODCE=×4×8=16.
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【题目】某学校要从数学竞赛初赛成绩相同的四名学生(其中2名男生,2名女生)中,随机选出2名学生去参加决赛,则选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,一次函数的图象经过点,且与正比例函数的图象交于点,点的横坐标是.
(1)求一次函数的函数解析式;
(2)根据图象,写出当时,自变量的取值范围.
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【题目】如图,已知函数与的图像在第一象限交于点A(m,y1),点B(m+1,y2)在的图像上,且点B在以O 点为圆心,OA为半径的⊙O上,则k的值为( ).
A. B. 1 C. D. 2
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(﹣2,﹣9a),下列结论:①4a+2b+c>0;②5a﹣b+c=0;③若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有两个根x1和x2,且x1<x2,则﹣5<x1<x2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为﹣4.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】问题提出:某物业公司接收管理某小区后,准备进行绿化建设,现要将一块四边形的空地(如图5,四边形ABCD)铺上草皮,但由于年代久远,小区规划书上该空地的面积数据看不清了,仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,30cm及夹角∠AOB为60°,你能利用这些数据,帮助物业人员求出这块空地的面积吗?
问题显然,要求四边形ABCD的面积,只要求出△ABD与△BCD(也可以是△ABC与△ACD)的面积,再相加就可以了.
建立模型:我们先来解决较简单的三角形的情况:
如图1,△ABC中,O为BC上任意一点(不与B,C两点重合),连接OA,OA=a,BC=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),试用a,b,α表示△ABC的面积.
解:如图2,作AM⊥BC于点M,
∴△AOM为直角三角形.
又∵∠AOB=α,∴sinα=即AM=OAsinα
∴△ABC的面积=BCAM=BCOAsinα=absinα.
问题解决:请你利用上面的方法,解决物业公司的问题.
如图3,四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,∠AOB=60°,求四边形ABCD的面积.(写出辅助线作法和必要的解答过程)
新建模型:若四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),直接写出四边形ABCD的面积= .
模型应用:如图4,四边形ABCD中,AB+CD=BC,∠ABC=∠BCD=60°,已知AC=a,则四边形ABCD的面积为多少?(“新建模型”中的结论可直接利用)
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【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的大小.
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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC 的三个顶点的坐标分别 A(-3,4)B(-5,2)C(-2,1)
(1)画出 △ABC关于y 轴的对称图形 △A1B1C1;
(2)画出将△ABC 绕原点 O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2 ;
(3)求(2)中线段 OA扫过的图形面积.
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【题目】某石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解答下列问题:
出厂价 | 成本价 | 排污处理费 | |
甲种塑料 | 2100(元/吨) | 800(元/吨) | 200(元/吨) |
乙种塑料 | 2400(元/吨) | 1100(元/吨) | 100(元/吨) 另每月还需支付设备管理、维护费20000元 |
(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为y1元和y2元,分别求出y1和y2与x的函数关系式(注:利润=总收入-总支出);
(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨时,获得的总利润最大?最大利润是多少?
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