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【题目】如图,已知AB⊙O的直径,AD,BD⊙O的弦,BC⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.

(1)求证:DC⊙O的切线;

(2)若⊙O半径为4,∠OCE=30°,求△OCE的面积.

【答案】(1)详见解析;(2)16.

【解析】

(1)首先连接OD,易证得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等,求得∠CDO=90°,即可证得直线CD是⊙O的切线;

(2)设⊙O的半径为R,则OE=R+1,在Rt△ODE中,利用勾股定理列出方程,求解即可.

(1)证明:连接DO,如图,

∵AD∥OC,

∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD,

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO,

∴∠COD=∠COB.

△COD△COB

,

COD≌COB(SAS),

CDO=CBO.

∵BC⊙O的切线,

CBO=90°,

CDO=90°,

∴ODCE,

D⊙O上,

∴CD⊙O的切线

(2)解:由(1)可知∠OCB=∠OCD=30°,

DCB=60°,

BCBE,

E=30°,

Rt△ODE中,∵tanE=

∴DE==4

同理DC=OD=4

∴SOCE=ODCE=×4×8=16

练习册系列答案
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A. B. C. D.

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A. B. 1 C. D. 2

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【题目】问题提出:某物业公司接收管理某小区后,准备进行绿化建设,现要将一块四边形的空地(如图5,四边形ABCD)铺上草皮,但由于年代久远,小区规划书上该空地的面积数据看不清了,仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,30cm及夹角∠AOB60°,你能利用这些数据,帮助物业人员求出这块空地的面积吗?

问题显然,要求四边形ABCD的面积,只要求出ABDBCD(也可以是ABCACD)的面积,再相加就可以了.

建立模型:我们先来解决较简单的三角形的情况:

如图1,ABC中,OBC上任意一点(不与B,C两点重合),连接OA,OA=a,BC=b,AOB=α(αOABC所夹较小的角),试用a,b,α表示ABC的面积.

解:如图2,作AMBC于点M,

∴△AOM为直角三角形.

又∵∠AOB=α,sinα=AM=OAsinα

∴△ABC的面积=BCAM=BCOAsinα=absinα.

问题解决:请你利用上面的方法,解决物业公司的问题.

如图3,四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,AOB=60°,求四边形ABCD的面积.(写出辅助线作法和必要的解答过程)

新建模型:若四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,AOB=α(αOABC所夹较小的角),直接写出四边形ABCD的面积=   

模型应用:如图4,四边形ABCD中,AB+CD=BC,ABC=BCD=60°,已知AC=a,则四边形ABCD的面积为多少?(新建模型中的结论可直接利用)

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【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将PAC绕点A逆时针旋转后得到P′AB.

(1)求点P与点P′之间的距离;

(2)求∠APB的大小.

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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC 的三个顶点的坐标分别 A(-3,4)B(-5,2)C(-2,1)

(1)画出 △ABC关于y 轴的对称图形 △A1B1C1

(2)画出将△ABC 绕原点 O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2

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【题目】某石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解答下列问题:

出厂价

成本价

排污处理费

甲种塑料

2100(元/吨)

800(元/吨)

200(元/吨)

乙种塑料

2400(元/吨)

1100(元/吨)

100(元/吨)

另每月还需支付设备管理、维护费20000

(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为y1元和y2元,分别求出y1y2x的函数关系式(注:利润=总收入-总支出);

(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨时,获得的总利润最大?最大利润是多少?

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