Question

【题目】如图1，△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13

(1) sinB＝_________，△ABC的面积为_________

(2) 如图2，点P由B点出发，以1个单位/s的速度向C点运动，过P作PE∥AB、PD∥AC分别交AC、AB边于E、D点，设运动时间为t秒

① 是否存在唯一的t值，使四边形PEAD的面积为S？若存在，求S值；若不存在，说明理由

② 如图3，将△PDE沿DE折叠至△QDE位置，连BQ、CQ，当t为何值时，2BQ＝CQ

Answer 1

【答案】 84

【解析】试题分析：（1）作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=BC﹣BD=15﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出BD，再由勾股定理求出AD，即可得出sinB的值和△ABC的面积；

（2）过点C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，则PN∥CM，由平行线证出△BPN∽△BCM，得出=，求出CM=12，PN=，同理：，证明四边形PEAD是平行四边形，由平行四边形的面积公式得出S四边形PEAD=PEPN=，即可得出结论；

（3）连接CQ，证出四边形PEAD是平行四边形，得出AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，由翻折性质得出PE=QE=AD，QD=PD=AE，由SSS证明△ADE≌△QED，得出∠AED=∠QDE，因此∠QDA=∠AEQ，由邻补角得出∠QDB=∠QEC，证明△CEQ∽△QDB，得出，因此EC=2QD=2DP=2AE，由平行线得出比例式，得出BP=5，求出t=5即可．

试题解析：

（1）作AD⊥BC于D，如图1所示：

设BD=x，则CD=BC﹣BD=15﹣x，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2，AD2=AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即142﹣x2=132﹣（15﹣x）2，

解得：x=8.4，

∴BD=8.4，

∴AD===11.2，

∴sinB===，△ABC的面积=BCAD=×15×11.2=84；

故答案为：，84；

（2）存在，理由如下：过点C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，如图2所示：

则PN∥CM，

∴△BPN∽△BCM，

∴=，即，

∴CM=12，PN=，

同理：，

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴四边形PEAD是平行四边形，

∴S四边形PEAD=PEPN=，

∴当t=时，S有最大值为42；

（3）连接CQ，如图3所示：

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴四边形PEAD是平行四边形，

∴AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，

由翻折可知：PE=QE=AD，QD=PD=AE，

在△ADE和△QED中，

∴△ADE≌△QED（SSS），

∴∠AED=∠QDE，

∴∠QDA=∠AEQ，

∴∠QDB=∠QEC，

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴△BDP∽△BAC，△BAC∽△PEC，

△BDP∽△PEC，

∴，

又∠QDB=∠QEC，

∴△CEQ∽△QDB，

∴，

∴EC=2QD=2DP=2AE，

∵PE∥AB，

∴，

∴CP=10，BP=5，

∴t=5；

即当t=5时，2BQ=CQ．