Question

6．小明同学在求1+5¹+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶+5⁷+5⁸+5⁹+5¹⁰的值时，认真思考后发现，从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的5倍，于是他想到了下面的一种解题思路．
解：设S=1+5¹+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶+5⁷+5⁸+5⁹+5¹⁰…①
在①式的两边同时都乘以5得：
5S=5¹+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶+5⁷+5⁸+5⁹+5¹⁰+5¹¹…②
②-①得：5S-S=5¹¹-1，即4S=5¹¹-1，∴S=$\frac{{5}^{11}-1}{4}$，得出答案后，爱动脑筋的小明想：如果把“5”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴的值？则求出的答案是（　　）

• A． $\frac{{a}^{2014}-1}{a-1}$
• B． $\frac{{a}^{2014}-1}{a}$
• C． $\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$
• D． $\frac{{a}^{2015}-1}{a}$

Answer 1

分析 设S=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴①，在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴+a²⁰¹⁵②，两式相减即可得出答案．

解答 解：设S=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴①，
在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴+a²⁰¹⁵②，
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁵-1，
S=$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$，
即1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴=$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$，
故选C．

点评 本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能读懂题意是解此题的关键，用了类比思想．