Question

现有100个整数a₁，a₂，a₃，…，a₉₉，a₁₀₀，同时满足下列四个条件：
①-1≤a_i≤2（i=1，2，3，…，99，100）；
②a₁+a₂+a₃+…+a₉₉+a₁₀₀=60；
③a₁²+a₂²+a₃²+…+a₉₉²+a₁₀₀²=160；
④a₁³+a₂³+a₃³+…+a₉₉³+a₁₀₀³=180．
求a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴+…+a₉₉⁴+a₁₀₀⁴的平方根．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：整体思想

分析：不妨设这100个整数中有a个-1，b个0，c个1，d个2，则a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴+…+a₉₉⁴+a₁₀₀⁴=a+c+16d．根据题意可得到关于a、b、c、d的方程组，求出a、b、c、d的值，就可解决问题．

解答：解：设这100个整数中有a个-1，b个0，c个1，d个2，
则a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴+…+a₉₉⁴+a₁₀₀⁴=a+c+16d．
根据题意可得：

-a+c+2d=60 a+c+4d=160 -a+c+8d=180 a+b+c+d=100

，
解得：

a=30 b=0 c=50 d=20

，
∴a+c+16d=30+50+16×20=400，
即a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴+…+a₉₉⁴+a₁₀₀⁴=400．
∴a₁⁴+a₂⁴+a₃⁴+…+a₉₉⁴+a₁₀₀⁴的平方根为±20．

点评：本题考查了解方程组、求平方根等知识，运用整体思想是解决本题的关键．