Question

如图，已知AD∥EF∥BC，AD=2，BC=6，AE²=AB•EB，则EF=

 

．

Answer 1

考点：黄金分割,平行线分线段成比例

专题：计算题

分析：过D点作DH∥AB交BC于H，交EF于Q，如图，易得四边形AEQD和四边形ABHD都是平行四边形，则BH=EQ=AD=2，AE=DQ，DH=AB，得到CH=BC-BH=4，由于AE²=AB•EB，则E点为AB的黄金分割点，所以AE：AB=

5 -1

2

，即DQ：DH=

5 -1

2

，再利用平行线分线段成比例定理得到QF：HC=DQ：DH=

5 -1

2

，可计算出QF=2

5

-2，于是有EF=EQ+QF=2

5

．

解答：解：过D点作DH∥AB交BC于H，交EF于Q，如图，
∵AD∥EF∥BH，
∴四边形AEQD和四边形ABHD都是平行四边形，
∴BH=EQ=AD=2，AE=DQ，DH=AB，
∴CH=BC-BH=6-2=4，
∵AE²=AB•EB，
∴AE：AB=

5 -1

2

，
∴DQ：DH=

5 -1

2

，
∵QF∥CH，
∴QF：HC=DQ：DH=

5 -1

2

，
∴QF=

5 -1

2

HC=2

5

-2，
∴EF=EQ+QF=2

5

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故答案为2

5

．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了平行线分线段成比例定理．