Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，若点A的坐标是（1，0），点B在点A的右侧．
（1）c=

 

；b=

 

（用含a的代数式表示）；
（2）求a的取值范围；
（3）若过点C且平行于x轴的直线交该抛物线于另一点D，AD、BC交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，求S₁-S₂的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点C（0，1）代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），即可求得c的值；将点A（1，0），代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），即可用含a的代数式表示b；
（2）将点A（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），二次函数与x轴交于不同的两点，根据判别式可得a≠1，点B在点A的右侧，可得对称轴直线x=-

b

2a

＞1．从而得到a的取值范围是：0＜a＜1；
（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，得AB=

1-a

a

．把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得CD=

a+1

a

．S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，根据三角形面积公式代入计算即可求解．

解答：解：（1）将点C（0，1）代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），可得1=0+0+c，
解得，c=1；
将点A（1，0），代入二次函数y=ax²+bx+c（a＞0），可得a+b+1=0，
解得，b=-1-a；
故答案为：1；-1-a；

（2）将点A（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），
∵二次函数与x轴交于不同的两点，
∴△=b²-4ac=（a-1）²＞0，
∴a≠1，
∵点B在点A的右侧，
∴对称轴直线x=-

b

2a

＞1．
∵a＞0，
∴2a+b＜0，
∴a＜1，
∴a的取值范围是：0＜a＜1；

（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，
得：x₁=1，x₂=

1

a

．
∴AB=

1-a

a

．
把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得x₁=0，x₂=

a+1

a

．
∴CD=

a+1

a

．
∵S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，
∴S₁-S₂=

1

2

×

a+1

a

×1-

1

2

×

1-a

a

×1=1．
故答案为：1．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形面积计算，综合性较强．