Question

如图，抛物线y=ax²+2与y轴交于点A，抛物线上的一点P在第四象限，连接AP与x轴交于点C，若AC=PC，且S_△AOC=1，记点A关于x轴的对称点为B．连结BP．
（1）求BP的长；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据三角形的面积公式求得OC的长度；然后利用点A与点B关于x轴对称求得OA=OB=2，则根据三角形中位线的性质求得BP=2OC；
（2）由（1）得出P点坐标，再利用待定系数法求出a的值，进而得出图象与x轴交点坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=2，则OA=2．
∵S△AOC=

1

2

OC•OA=1，
∴OC=1．
∵A关于x轴的对称点为B，
∴OA=OB=2，
∵AC=PC，
∴OC为△APB的中位线，
∴BP=2OC=2；

（2）∵OC为△APB的中位线，OA⊥OC，
∴PB⊥y轴，
∴点P的坐标为（2，-2），
∵点P（2，-2）在函数y=ax²+2的图象上，
∴a=-1，
∴y=-x²+2．
当y=0时，-x²+2=0，
∴x1=

2

，x2=-

2

，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（

2

，0），（-

2

，0 ）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点求法以及相似三角形的判定与性质等知识，得出P点坐标是解题关键．