Question

如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C₁：y=

4

x

的图象经过点A，M是AC的中点．
（1）求经过点M的反比例函数图象的解析式；
（2）若点D恰好也在图象C₁上，试证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设出A坐标为（m，n），根据M为AC中点，且AC垂直与x轴，确定出M坐标，首先根据已知反比例函数经过点A求得mn的乘积，然后将点M的坐标代入设出的反比例函数的解析式求解即可；
（2）根据DB垂直于y轴，得到D与M纵坐标相同，将M纵坐标代入反比例解析式中求出x的值，确定出D坐标，得到BM=DM，进而确定出AC与BD互相平分，又AC与BD垂直，利用对角线互相平分且垂直的四边形为菱形即可得证．

解答：（1）解：设A（m，n），
∵M是AC的中点，AC⊥x轴于点C，
∴M（m，0.5n），
∵反比例函数C₁：y=

4

x

的图象经过点A，
∴n=

4

m

，
∴mn=4，
设经过点M的反比例函数的解析式为y=

k

x

，
∴0.5n=

k

m

，
解得：k=0.5mn=0.5×4=2，
∴经过点M的反比例函数的解析式为y=

2

x

；

（2）证明：设A（m，n），则M（m，0.5n），
∵DB⊥y轴，
∴D与M纵坐标相同，
将y=0.5n代入y=

4

x

中，得x=2m，即D（2m，0.5n），
∴BM=DM=m，
∵M为AC中点，即AM=CM，
∴AC与BD互相平分，
∵AC⊥BD，
则四边形ABCD为菱形．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数性质，以及菱形的判定，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．