Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连结AF、CE．

（1）求证：△AOE≌△COF．

（2）试判断四边形AFCE的形状，并证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，证明详见解析．

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠OAE＝∠OCF．证出AO＝CO．由AS证明△AOE≌△COF即可；

（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，证出四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠OAE＝∠OCF．

∵O是AC中点，

∴AO＝CO．

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

（2）解：四边形AFCE为菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF．

又AE∥CF，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AECF为菱形．