Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC＝3AO．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．

（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标；

（2）连结CQ，判断线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系，并说明理由．

（3）连结PA、PD，当m为何值时，S△PAD＝S△DAB；

（4）在直线AD上是否存在一点H使△PQH为等腰直角三角形，若存在请求出m的值，不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3， Q（1，4）；（2）线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系是平行且相等，理由详见解析；（3）m＝0或1；（4）存在，m＝0或2或1．

【解析】

（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1），则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），即可求解；

（2）CQ＝＝AE，直线AQ和AE的倾斜角均为45°，即可求解；

（3）S△PAD＝×PK×（xD﹣xA）＝×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）＝S△DAB＝×4×3，即可求解；

（4）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三种情况，分别求解即可．

（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1），

则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），

故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，

函数的对称轴为：x＝1，故点Q（1，4）；

（2）CQ＝＝AE，直线AQ和AE的倾斜角均为45°，

故线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系是平行且相等；

（3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式并解得：x＝0或2，故点D（2，3），

过点P作y轴的平行线交AD于点K，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1），

S△PAD＝×PK×（xD﹣xA）＝×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）＝S△DAB＝×4×3，

解得：m＝0或1，

故点P（0，3）或（1，4）；

（4）存在，理由：

设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），

①当∠QOH＝90°时，如图1，

过点O作y轴的平行线，分别交过点H、点Q与x轴的平行线于点M、G，

∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，

∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，

∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，

即：4﹣n＝t﹣m，1﹣m＝n﹣t﹣1，

解得：m＝0或2，

故点P（2，3）或（0，3）；

②当∠PQH＝90°时，

则∠QHP＝∠QPH＝45°，故PH∥x轴，

同理可得：m＝0或2，

故点P（2，3）或（0，3）；

③当∠QHP＝90°时，

当点H在点D的下方时，如左侧图，

同理可得：m＝3，

故点P（3，0）；

当点H在点D的下方时，如右侧图，

同理可得：m＝1，

故点P（1+，2）或（1﹣，2）；

综上，点P的坐标为：（2，3）或（0，3）或（3，0）或（1+，2）或（1﹣，2）．