Question

【题目】如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．

求梯形的面积；

如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；

①若某时段运动后形成的四边形中，求运动路程的长，并求此时的值；

②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．

Answer 1

【答案】（1）梯形的面积为16；（2）①BD＝4，G′B2；②当0≤x＜时，S＝；当≤x≤时，S＝．

【解析】

（1）在Rt△ABC中由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB＝45°，又由GF∥BC得到∠AGF＝∠AFG＝45°，由此得到AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，然后根据S梯形BCFG＝S△ABCS△AGF进行计算；

（2）①根据平移可知BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD＝BG＝4，如图③，过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，求出DM＝G'M＝，接着得到BM＝，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出G'B2；②在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，过G点作GH垂直BC于点H，得GH＝，而BD＝GG′＝x，DC＝，G'F'＝，根据梯形面积公式即可用x表示S；当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，斜边DC＝，斜边上的高为，根据三角形面积公式即可用x表示S．

解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵GF∥BC，

∴∠AGF＝∠AFG＝45°，

∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，

∴S梯形BCFG＝S△ABCS△AGF＝×6×6×2×2＝16；

（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′＝BG，

∴BDG′G是平行四边形，

当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形，

∴BD＝BG＝4，

如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M，

在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，

∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，

∴DM＝G′M＝，

∴BM＝，

连接G′B．

在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；

②在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF＝，BC＝，

当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，

过G点作GH垂直BC于点H，则GH＝，

∵BD＝GG′＝x，

∴DC＝，G′F′＝，

∴S＝；

当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，

∵斜边DC＝，

∴斜边上的高为，

∴S＝．