Question

【题目】边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．

（1）求E点坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，求a，h，k；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，

∵DE⊥DC，

∴∠CDO+∠EDF=90°，

∵∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠EDF，

在△COD和△DFE中

∴△COD≌△DFE（AAS），

∴OD=EF，DF=CO，

∵CO=OA=2，D为OA中点，

∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，

∴E（3，1）

（2）

解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k以AB为对称轴，

∴h=2，

∵y=a（x﹣h）2+k经过C（0，2）和E（3，1）两点，

∴ ，

解得：

（3）

解：①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，

此时，N点就是抛物线的顶点（2， ），

由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y= x；

∵DM∥EN，

∴设DM的解析式为：y= ，

将D（1，0）代入可求得b=﹣ ，

∴DM的解析式为：y= ，

令x=2，则y= ，

∴M（2， ）；

②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，

∴CM⊥CD，

∵OC⊥CB，

∴∠OCD=∠BCM，

在△OCD和△BCM中

，

∴△OCD≌△BCM（ASA），

∴CM=CD=DE，BM=OD=1，

∴CDEM是平行四边形，

即N点与C占重合，

∴N（0，2），M（2，3）；

③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，

作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，

∵MNED是平行四边形，

∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，

∵BN∥DF，

∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，

∴∠MNB=∠EDF，

在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），

∴BM=EF=1，

BN=DF=2，

∴M（2，1），N（4，2）；

综上所述，N、M分别以下组合时，以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形

N（2， ），M（2， ）；

N（0，2），M（2，3）；

M（2，1），N（4，2）

【解析】（1）过点E作EF⊥x轴于点F，证△COD≌△DFE即可；（2）直线AB就是对称轴，确定了h，算出C、E两点坐标，代入抛物线解析式，确定a、k；（3）分三种情况讨论：N在抛物线顶点处；N在抛物线对称轴左侧；N在抛物线对称轴右侧．