Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB=4，点D(2，)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象，点O是坐标原点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值.

Answer 1

(1)∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4，

∴A(-1，0)，B(3，0).

∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).

又点D(2，)在抛物线上，

∴=a·(2+1)·(2-3).解得a=-.

∴y=-(x+1)(x-3).

即抛物线的解析式为y=-x²+x+.

(2)由(1)知C(0，).∵D(2,),∴CD∥AB.

令kx-2=，得l与CD的交点F(，).

令kx-2=0，得l与x轴的交点E(，0).

由S_{四边形OEFC}=S_{四边形EBDF}，得OE+CF=DF+BE.

即+=(3-)+(2-).解得k=.