【题目】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①135°;②.
【解析】
试题分析:(1)欲证明GF∥AC,只要证明∠A=∠FGB即可解决问题.
(2)①先证明A、D、M、C四点共圆,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解决问题.
②利用①的结论可知,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,利用弧长公式即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,∴CB与CE重合,∴∠CBE=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.
(2)①如图2中,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠CDF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A、D、M、C四点共圆,∴∠CMF=∠CAD=45°,∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.
②如图3中,O是AC中点,连接OD、CM.
∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A、D、M、C四点共圆,∴当α从90°变化到180°时,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴的长==,∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为.
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【题目】如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A. 在AC、BC两边高线的交点处
B. 在AC、BC两边中线的交点处
C. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D. 在∠A、∠B两内角平分线的交点处
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【题目】如图四个几何体分别是三棱柱,四棱柱,五棱柱和六棱柱,三棱柱有5个面,9条棱,6个顶点,观察图形,填写下面的空.
(1)四棱柱有 个面, 条棱, 个顶点;
(2)六棱柱有 个面, 条棱, 个顶点;
(3)由此猜想n棱柱有 个面, 条棱, 个顶点.
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【题目】现定义两种运算“⊕”和“※”.对于任意两个整数a、b,
都有:a⊕b=a+b﹣1,a※b=ab+2.
(1)分别求出 -3⊕2 的值和 4 ※(-1)的值;
(2)试求(-3⊕2)※ [4 ※(-1)]的值.
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【题目】某班有40名同学去看演出,购买甲、乙两种票共用去370元,其中甲种票每张10元,乙种票每张8元,设购买了甲种票x张,乙种票y张,由此可列出方程组:________________.
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【题目】我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的值记为<x>.如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<2.5>=<3.12>=3,…
解决下列问题:
(1)填空:①若<x>=6,则x的取值范围是 ;
②若<x>= ,则x的值是 ;
(2)若m为正整数,试说明:<x+m>=<x>+m恒成立.
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【题目】在以下现象中,属于平移的是( )
(1)在荡秋千的小朋友;
(2)打气筒打气时,活塞的运动;
(3)自行车在行进中车轮的运动;
(4)传送带上,瓶装饮料的移动.
A.(1)(2)
B.(2)(4)
C.(2)(3)
D.(1)(3)
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