Question

【题目】如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线．

（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16

①求⊙O的半径；

②求△ABC的内心到点O的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①；②5．

【解析】

(1)连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，由圆周角定理可得∠ACF＝90°，可得∠F+∠FAC＝90°，由∠EAC＝∠ABC，可得∠EAC+∠FAC＝90°，即可得结论；

(2)①由垂径定理可得OD⊥AB，AD＝BD＝8，由勾股定理可求⊙O的半径；

②作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，由角平分线的性质可得HM＝HN＝HD，由三角形的面积公式可求HD的值，即可求△ABC的内心到点O的距离．

解：(1)证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF

∵AF是直径

∴∠ACF＝90°

∴∠F+∠FAC＝90°，

∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC

∴∠EAC＝∠F

∴∠EAC+∠FAC＝90°

∴∠EAF＝90°，且AO是半径

∴直线AE是⊙O的切线．

(2)①如图，连接AO，

∵D为AB的中点，OD过圆心，

∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，

∵AO2＝AD2+DO2，

∴AO2＝82+（AO﹣6）2，

∴AO＝，

∴⊙O的半径为；

②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，

∵OD⊥AB，AD＝BD

∴AC＝BC，且AD＝BD

∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB

∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB

∴MH＝NH＝DH

在Rt△ACD中，AC＝，

∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，

∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，

∴DH＝，

∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），

∴OH＝﹣（6﹣）=5．