Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点E（，0）；（3）PB2的值为16+8．

【解析】

(1)求出点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，△EDC的周长最小，即可求解；

(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解．

(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，

令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，

∴点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，

将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：

，解得：，

故函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；

(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，

令x=0，则﹣x2+2x+3=0，

解得：，

∴点A的坐标为(-1，0)，

∵y=﹣x2+2x+3，

∴抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，则点C′的坐标为(0，﹣3)，

设直线C′D的表达式为，

将C′、D的坐标代入得，

解得：，

∴直线C′D的表达式为：y=7x﹣3，

当y=0时，x=，

故点E的坐标为(，0)；

(3)①当点P在x轴上方时，如图2，

∵点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，

∴OB=OC=3，则∠OCB=45°=∠APB，

过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=a，

则PB=PA=a，

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，

∴16=a2+(a﹣a)2，解得：a2=8+4，

则PB2=2a2=16+8；

②当点P在x轴下方时，

同理可得．

综合以上可得，PB2的值为16+8．