Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P，Q分别从BC两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动．速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．

（1）求x为何值时，PQ⊥AC；

（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝；（2）y；（3）当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，则当Q在AC上，根据路程＝速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据含30度的直角三角形的性质列方程求解；

（2）过点Q作QN⊥BC于N，利用三角函数求出QN，然后表示出DP，再根据三角形面积公式进行求解；

（3）可分点Q在AC和AB上两种情况讨论：当Q在AC时，根据（1）即可解决问题；当Q在AB上时，设以PQ为直径的圆与AC相切于点G，连接O′G，易证PQ＝2O′G＝QE＋PF＝，过点Q作QN⊥BC于N，在Rt△BNQ中，运用三角函数可得QN＝，BN＝4x，则有PN＝2x4，然后在Rt△QNP中，运用勾股定理即可解决问题．

解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，

当Q在AC上时，由题意得，BP＝x，CQ＝2x，则PC＝4x，

∵AB＝BC＝CA＝4，

∴∠C＝60°，

若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，即4x＝2×2x，

∴x＝，

即当x＝时，PQ⊥AC；

（2）如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N，

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC·sin60°＝，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2x，/span>

∴y＝PDQN＝；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，

①当点Q在AC上时，由（1）可知，当x＝时，以PQ为直径的圆与AC相切；

②当点Q在AB时，如图，

设以PQ为直径的圆与AC相切于点G，圆心为O′，连接O′G，则有O′G⊥AC，

过点Q作QE⊥AC于E，过点P作PF⊥AC于F，则QE∥O′G∥PF，

∵QO′＝PO′，

∴EG＝FG，

∴O′G＝（QE＋PF），

∴PQ＝2O′G＝QE＋PF，

由题意可得，CP＝4x，AQ＝2x4，

∴QE＝AQsin60°＝，PF＝PCsin60°＝，

∴PQ＝，

过点Q作QN⊥BC于N，

在Rt△BNQ中，QN＝BQsin60°＝，BN＝BQcos60°＝（82x）＝4x，

∴PN＝x（4x）＝2x4，

在Rt△QNP中，根据勾股定理可得：，

整理可得：25x2160x＋256＝0，

解得：x1＝x2＝，

综上所述，当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．