Question

【题目】如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

(1) 求P点坐标及a的值；

(2)如图（1），

抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

(3) 如图（2），

点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）顶点P的为（-2，-5），a＝

（2）抛物线C3的表达式为 y=- (x-4)2+5

（3）当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点

的三角形是直角三角形．

【解析】

(1)把B（1,0）代入y=a(x+2)2-5，即可解得a值；

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G,根据P、M关于点B成中心对称，证明△PBH≌△MBG，即可求出MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，得到顶点M的坐标，再根据抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，即可写出抛物线C3的表达式

（3）根据抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，点N的纵坐标为5，设点N的坐标为（m,5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求出EF＝AB＝2BH＝6，FG＝3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），

根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，再分三种情况讨论即可.

(1)由抛物线C1：y=a(x+2)2-5，得

顶点P的为（-2，-5）

∵点B（1，0）在抛物线C1上

∴0= a(1+2)2-5

解得，a＝

(2)连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称

∴PM过点B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴顶点M的坐标为（4，5）

∵抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到

∴抛物线C3的表达式为 y=- (x-4)2+5

（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称

由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5）

作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K

∵旋转中心Q在x轴上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），

根据勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34

①当∠PNF＝90时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，

∴Q点坐标为（，0）

②当∠PFN＝90时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90

综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点

的三角形是直角三角形．