Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．

（1）求证：EC＝ED；

（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，则结论得证；

（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．

（1）证明：连接OC，

∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径，

∴OC⊥CE，

∴∠OCA+∠ACE＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠ACE+∠A＝90°，

∵OD⊥AB，

∴∠ODA+∠A＝90°，

∵∠ODA＝∠CDE，

∴∠CDE+∠A＝90°，

∴∠CDE＝∠ACE，

∴EC＝ED；

（2）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，

∴∠CDE+∠ECF＝90°，

∵∠CDE+∠F＝90°，

∴∠ECF＝∠F，

∴EC＝EF，

∵EF＝3，

∴EC＝DE＝3，

∴OE＝5，

∴OD＝OE﹣DE＝2，

在Rt△OAD中，AD＝，

在Rt△AOD和Rt△ACB中，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，

∴Rt△AOD∽Rt△ACB，

∴，即，

∴AC＝．