Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k₂x+b
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性质确定C点坐标（6，4），再确定A点坐标为（3，2），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k₁=6，即反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；然后利用反比例函数解析式确定F点的坐标为（6，1），E点坐标为（$\frac{3}{2}$，4），再利用待定系数法求直线EF的解析式；
（2）利用△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF进行计算求得即可．

解答 解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（3，2），
∴k₁=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得x=$\frac{3}{2}$，则E点坐标为（$\frac{3}{2}$，4），
把F、E的坐标代入y=k₂x+b得$\left\{\begin{array}{l}{6{k}_{2}+b=1}\\{{\frac{3}{2}k}_{2}+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+5；

（2）△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=4×6-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×6×1-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$）×（4-1）
=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式．