Question

【题目】如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，且．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）过点作，垂足为点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)由直径所对的圆周角等于90°及DA是圆的切线可知，进一步得到∠ADB=∠CAB，再由同弧所对圆周角即可证明△EBC为等腰三角形.

(2)由(1)中可得到弧CE与弧CB相等，进而得到C是弧BE中点，进而得到CO所在直线与AB垂直，易证AE∥CO，得到∠COA=∠EAO,在△COB中由外角定理即可求解.

(3)先证，得到相似比为2，设半径为，，则，由得到，将AF和BF分别用r的代数式表示即可求解.

（1）证明：切于点

又是的直径

．

又，

．

（2）连接，如下图所示：

弧弧

∴C是弧BE中点，故有CO所在直线与BE垂直

又是的直径

．

即

（3）

，是的直径

设半径为，，则

，即

，