Question

2．如图，△ABC是等边三角形，边长为6，D是AC边上一点，连接BD，⊙O为△ABD的外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于点E，连接DE、BE．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）求△ADE周长的最小值；
（3）当AD=2时，设⊙O与BC边的交点为F，过F作⊙O的切线交AC于G，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）若要证明△BDE是等边三角形，则只要证明∠3=∠4=∠1=∠2=60°即可；
（2）由题意可知当⊙O的半径最小时△ADE的周长最小，如图2所示：当AB是⊙O的直径时，⊙O的半径最小=$\frac{1}{2}$AB=3，并且此时BD⊥AC，利用已知条件分别求出AD，AE，DE的长即可求出△ADE的周长；
（3）连接AF，延长GF至M，首先证明△ABD≌△ABF，由全等三角形的性质可得∠BAF=∠ABD；AD=BF=2，所以CF=BC-BF=4，又因为GF是⊙O的切线，所以可得∠CFG=∠BFM=∠BAF=∠ABD，进而可证明△ABD∽△FCG，利用相似三角形的性质即可求出CG的长．

解答 解：（1）如图1所示：
∵等边三角形ABC，
∴∠1=∠C=60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=∠1+∠2=180°-∠C=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圆周角相等），
∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，
∴△BDE是等边三角形；
（2）当⊙O的半径最小时△ADE的周长最小，如图2所示：
当AB是⊙O的直径时，⊙O的半径最小=$\frac{1}{2}$AB=3，
此时BD⊥AC，
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=AB•sin∠1=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
易证△ABD≌△ABE，
∴AE=AD=AB•cos∠1=6×$\frac{1}{2}$=3，
∴△ADE周长的最小值=3+3+3$\sqrt{3}$=6+3$\sqrt{3}$；
（3）如图1所示，连接AF，延长GF至M，
∵等边三角形ABC，
∴∠1=∠ABC=∠C=60°，
又∠AFB=∠ADB；AB=AB，
∴△ABD≌△ABF，
∴∠BAF=∠ABD；AD=BF=2，
∴CF=BC-BF=4，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠CFG=∠BFM=∠BAF=∠ABD，
∴△ABD∽△FCG，
∴$\frac{CG}{AD}=\frac{CF}{AB}$，
即 $\frac{CG}{2}=\frac{4}{6}$，
解得：CG=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：等边三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．