Question

14．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是$\widehat{AB}$上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧$\widehat{A′F}$恰好与半径OB相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，易得四边形AOGO′为矩形，得到O′G=AO=5，根据折叠的性质得$\widehat{AF}$与$\widehat{A′F}$为等弧，则它们所在圆的半径相等，再利用经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心得到点O′为$\widehat{A′F}$所在圆的圆心，则可判断点O与点O′关于EF对称，所以OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，接着证明Rt△OEH∽Rt△OO′A，然后利用相似比可计算出x．

解答 解：过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，
则四边形AOGO′为矩形，
∴O′G=AO=6，
∵$\widehat{AF}$沿EF折叠后所得得圆弧$\widehat{A′F}$恰好与半径OB相切于点G，
∴$\widehat{AF}$与$\widehat{A′F}$所在圆的半径相等，
∴点O′为$\widehat{A′F}$所在圆的圆心，
∴点O与点O′关于EF对称，
∴OO′⊥EF，OH=HO′，
设OH=x，则OO′=2x，
∵∠EOH=∠O′OA，
∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，
∴$\frac{OH}{OA}$=$\frac{OE}{OO′}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{5}{2x}$，解得x=$\sqrt{15}$，
即O到折痕EF的距离为$\sqrt{15}$．
故答案为$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了折叠的性质．