Question

5．如图，在三角形ABC中，AB=8，AC=16，点P从点B开始沿边BA向点A以2厘米每秒的速度移动，点Q从点A向点C以4厘米每秒的速度移动，如果点P、Q分别从点B、A同时出发，经过多少秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似？

Answer 1

分析 设经过t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似，则BP=2t，AP=8-2t，AQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$时，△APQ∽△ABC，即$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{4t}{16}$；当$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△ACB，即$\frac{8-2t}{16}$=$\frac{4t}{8}$，然后分别解方程即可．

解答 解：设经过t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似，则BP=2t，AP=8-2t，AQ=4t，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$时，△APQ∽△ABC，即$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{4t}{16}$，解得t=2（s）；
当$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△ACB，即$\frac{8-2t}{16}$=$\frac{4t}{8}$，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．会利用时间表示相应线段的长，注意分类讨论思想的运用．