Question

9．求证：$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{（a-c）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}}$是有理数．

Answer 1

分析 设t=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$，并设t是无理数，然后得到t²也是无理数，然后根据a、b、c是三个不同的有理数得出矛盾，利用反证法求解即可．

解答 解：设t=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$，并设t是无理数，
则有t²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是无理数，
∵a、b、c是三个不同的有理数，
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是有理数，这与t²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是无理数矛盾，
∴t是有理数，
即$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$是有理数．

点评 本题考查了有理数、无理数的概念与运算，题目采用了反证法证明，利用反证法证明命题的第一步是假设命题不成立，难度不是很大．