Question

1．如图，AB是半径为R的半圆的直径，C、D是半圆周上的两点，已知$\widehat{AC}$、$\widehat{BD}$的度数分别是90°和30°，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值是$\sqrt{3}$R．

Answer 1

分析 根据轴对称，作出点D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P，此时PC+PD最小，就等于CE的长．由题意可知∠COE=120°，然后在△COE中求出DE的长．

解答 解：设点D关于AB的对称点为E，连接CE交AB于P，则此时PC+PD的值最小，且PC+PD=PC+PE=CE．连接OC、OE；
∵弧AC的度数为90°，弧BD的度数为30°；
∴弧CB的度数为90°；
∴弧CBE的度数为120°，即∠COE=120°；
过O作OF⊥CE于F，则∠COF=60°；
Rt△OCF中，OC=R，∠COF=60°；因此CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
∴CE=2CF=$\sqrt{3}$R，即PC+PD的最小值为$\sqrt{3}$R．
故答案为：$\sqrt{3}$R．

点评 本题考查的是垂径定理，根据轴对称找出点D的对称点点E，由两点之间线段最短，确定CE的长就是PC+PD的最小值，然后由题目所告诉弧的度数得到∠COE的度数，在△COE中求出CE的长．