Question

10．（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．
（2）如图2，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA．求：劣弧BC的长．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得DC∥AB，DC=AB，由于DF=BE，则CF=AE，于是可判断四边形AFCE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得AF=CE；
（2）连接OC，OB，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=$\frac{1}{2}$OA=1，且∠AOB=60°，再利用BC∥OA得到∠OBC=∠AOB=60°，则可判断△BOC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后利用弧长公式计算劣弧BC的长．

解答 （1）证明：如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）解：连接OC，OB，如图，

∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OA=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的长=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质和弧长公式．